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灵活处理课本习题 培养学生思维能力 促进教师专业成长

   发布时间:2019-01-22 02:43:50   点击数:


信阳高中数学组 郭宏彬


摘要:培养学生的思维能力是数学教学的重要目标之一.如何实现这一目标,灵活处理课本的习题,挖掘并掌握其中的丰富内涵,是一种行之有效的办法,其对培养学生思维的发散性、灵活性、深刻性、创造性、广阔性都有很大作用,对教师的专业成长也是一种促进。

关键词:思维能力课本习题

习题课教学是高中数学教学的重要形式,处理好习题课的教学,对教学质量大面积的提高、学生智力的发展、思维品质的培养都起着至关重要的作用.然而我们大部分学校都是通过大量的资料来进行习题课教学,笔者认为这一做法并不可取,我们更应该关注课本习题.

课本习题是教材的重要组成部分,这些习题是编者从茫茫题海中经过反复筛选、精心选择出来的,是学生掌握双基的重要来源,也是教师传授知识的纽带,它蕴含着丰富的教学功能.

一、拓展延伸,培养思维的发散性

在教学中,如果对一些典型的习题进行变式处理,如改变原题的条件、结论、方法或逆向思维、反例分析等,即可以在演变多解过程中,使得学生在知识及方法的纵横方向分别得以拓广和延伸,培养学生的发散性思维.



1数学必修⑷P1223题证明:对任意a,b,c,d∈R,恒有不等式(acbd)2≤(a2b2) (c2d2) 1

先让学生推证,发现他们用比较法、综合法、反证法、放缩法都可以得到证明.此时进一步追问:能否有更新颖的证法呢?

引导学生抓住“a2b2、“c2d2、“acbd”的结构特征,因此可考虑用构造法证明.

证法1(向量法)

→

→

组合 35

→

→

组合 63造向量u(ab), v(cd), u·v|u||v|cosθ(其中θ为向量uv夹角)


acbd·cosθ,

(acbd)2(a2b2)(c2d2) cos2θ

≤(a2b2)(c2d2)

证法2(构造三角形)利用“三角形的两边之和大于第三边”(上图中OBCA为平行四边形)

|OA||OB||AB||OA||OB||OC|,不等式⑴迅速得证.

由解法一不少学生都能发现abcd可交换位置.

[1]求证:(a2b2)(c2d2)≥(adbc)2

[2]⑴式两边开方可否?

求证:≥|acbd| ⑶

[3]⑶式右边去掉绝对值可否?

求证:≥acbd ⑷

对于⑴式能否有更深刻的变化呢?将不等式⑴字母分别排序,得

(a12a22)(b12b22)≥(a1b1a2b2) 2

通过分析知道,可以按字母增加的方向演变.

[4]a1a2a3b1b2b3∈R

求证:(a12a22a32)(b12b22b32)

≥(a1b1a2b2a3b3)2

此时,利用学生的连续思维所产生的思维惯性,教师因势利导,把问题推广.

推广 设ai,bi∈R(i1,2……n),则

(a12a22+……+an2)(b12b22+……+bn2)

≥(a1b1a2b2+……+anbn)2

(当且仅当aikbi时,取“=”号)

这是一个重要的定理,叫柯西不等式.不等式⑸、⑹即柯西不等式当n2n3时的特例.

如此层层推进,使结论更加完美,更具有普遍性.

上述对原题从不同角度进行演变和多解,这样从一题多变到一题多解,使知识横向联系,纵向深入,拓宽了学生的思路,培养了学生的发散思维.

二、融会贯通,培养思维的灵活性

数学中有很多知识是相互联系的,现行新教材特别注意用联系的观点处理问题,课本中例、习题为我们提供了充足的素材和广阔的空间.因此,在教学中充分利用课本例、习题之间相互联系、互相作用、互相影响这一规律,引导学生串通教材,做到融会贯通,开阔学生的视野,增强学生思维的灵活性.

如研究空间面面关系,线面关系,线线关系时经常要用到转化思想方法来解题,通常有关线面平行、垂直的问题可转化为线线平行、垂直的问题,而有关面面平行、垂直的问题可转化为线面平行、垂直的问题.

2数学必修⑵P723AB为⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于AB任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.

自选图形 2自选图形 9组合 7

PA⊥BC

AC⊥BC

组合 73明:PA⊥平面ABC


BCC平面ABC

组合 61




组合 17平面PAC⊥平面PBC

这是一个典型的通过线线垂直去证线面垂直再去证面面垂直的例子,这样解剖一例串通一片,揭示了问题的本质,勾通了内在联系,使学生学过的知识结构化,系统化,学生的思维灵活性得到有效激活.

三、揭示规律,培养思维的深刻性

有些例、习题蕴含着解题思路或方法上的规律性,教师要有意识地引导学生去分析、归纳、挖掘、提炼,以总结出这些规律,并使学生深刻领会,牢固掌握,能用于解类似的问题,这有利于提高学生思维品质的深刻性.

3数学必修⑸练习:

等差数列{an}的前n项和是Sn5n23n,求它的前3项,并求它的通项公式.

多数学生解为:∵S1a18, S2a1a226

∴a2S2a118, da2a110, a3a2d28,

∴an10n2,教学不应就此结束,可继续设问:“若等差数列这个条件去掉,应该怎样求an?”经过总结归纳,可以发现:

Sna1a2+……+an Sn-1a1a2+……+an-1,

∴组合 24anSnSn-1,这实际上就得到了有价值的通法了,即:凡是已知Sn,抓住Snan的关系an


an学生掌握了此规律,以后处理类似问题就不费周折了.

再进一步推广、深化例3

Sn是数列{an}的前n项的和,若对任何自然数n,

Snan2bn(ab∈Rab≠0)可以证明数列{an}是公差为2a的等差数列.再进一步追问,若Snan2c(c≠0),数列{an}是等差数列吗?为什么?

如此层层深入思考,分析归纳,不断深化,有效地训练和培养了学生思维的深刻性.

四、标新立异,培养思维的创造性

例、习题教学中,在学生掌握基本方法的同时,应有意识地创设新活的思维情境,激励学生不依常规、不受教材与教师传授的方法的束缚,引导学生多角度、全方位地思考问题,鼓励学生标新立异、探究新解,达到开拓学生思维、锻炼学生思维创造的目的.

  1. 数学必修⑷P1117,已知A-1-1),B13),C(2,5)试判断ABC三点之间的位置关系.这是一道基本题,但应要求学生尽可能多地进行多方位、多层次的联系,寻求不同解法,如一些学生仅想到一些常规解法:

1)证明|AB||BC||AC|;(2)证明点B在直线AC上;(3)证明直线ABAC的方程相同或斜率相等.而有一些同学,联想宽广深刻,不但有上述解法,还得到了如下的非常规解法;(4)证明点C到直线AB的距离为0;(5)证明△ABC的面积等于零;(6)证明点B是有向线段AC的一个定比分点,显然后者的解法较之于前者,更难想到,更独到,因而更具有创新性,有利于培养思维的广泛性、创造性。

五、联想转化,培养思维的广阔性

数学是一个具有内在联系的有机整体,各不同分支,不同部分,都是相互联系、相互渗透的,解题方法、解题思路更是如此,因而,在课本例、习题的教学中应有意识地教给学生类比、联想、转化的方法,以提高学生分析问题、解决问题的能力,促进知识的正向迁移,培养思维的广阔性。


5旧教材《立体几何》P704题:棱台的上、下底面的面积各是QQ,求证:这个棱台的高和截得这个棱台的原棱锥的高的比是


明此题后,要学生进行类比联系:即若把其中的“棱台”换为“圆台”,则有怎样的结论?学生经过类比联想,可得结论:“圆台的上、下底面的面积各是QQ,那么这个圆台的高和截得这个圆台的原圆锥的高之比是


对于刚解决的问题,或者是熟知的问题,引导学生横向思考,类比联想,常可获得某些问题的解题思考或新颖的结论。

6旧教材《代数》下册P177已知a,b,m∈R,并且ab,

求证:

教材上是用“分析法”证的,如果就此结束,效果不大,实际上,它内蕴着丰富的教学价值,如引导学生巧妙联想,灵活转换,构造函数来证,则很富有意趣。

证明:令fx)===1

ab0,∴f(x)[0,+∞)上为增函数,

m0,∴f(m)f(0)即>

这样的教学就使学生不再把函数与不等式割裂开来,而是融合为一个有机的整体,以后处理有关问题时将能迅速迁移,另如例1巧妙地利用了数形转换解题的思想方法,这些都有助于培养学生思维的广阔性、创造性。

综上所述,课本是教学之本,深挖教材的潜力,充分发挥教材的自身作用,处理好课本例、习题的教学十分重要.立足课本,对课本典型例、习题进行演变、探究、引申、拓广、应用,由点到面,由题及类,解剖一例,带活一串,注意数学思想方法的渗透,这样教学,深化了基础知识,培养了思维品质,发展了思维能力,这正是我们所要追求的目标。


主要参考书籍


1、数学必修1—5,人民教育出版社.


2、数学必修1—5教师用书,人民教育出版社.