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高中数学创新试题的探索

   发布时间:2019-01-22 02:42:02   点击数:

河南省信阳高级中学 李楠楠

高中数学创新题是指根据数学课程标准的理念和要求,依托一定数学命题原理和技术,旨在培养或诊断考生数学创新意识与创新能力,在题目背景、题目形式、题目内容、解题方法等方面具有一定的新颖性与独特性的数学题。

(一)基础热身

1.定义两种运算:,,则函数为( )

A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇、非偶函数

2.D是函数yf(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D,使得f(x0)=-x0,则称x0f(x)的一个“次不动点”,也称f(x)在区间D上存在“次不动点”.若函数f(x)ax2

3x

a+在区间[1,4]上存在“次不动点”,则实数a的取值范围是(  )

A(

∞0]         B.

C.

D.

3.记定义在R上的函数的导函数为.如果存在,使得成立,则称为函数在区间上的“中值点”.那么函数在区间[

22]上的“中值点”为  

答案

  1. A解析:由新定义的运算有,可得函数的定义域为,关于原点对称,此时函数的解析式可化为,据此有所以为奇函数。

  2. C 解析:由题意,方程ax2

  3. 3x

  4. a=

  5. x在区间[1,4]上有解,

显然x即求函数a = 在区间(1,4]上的值域,令t=4x-5,t,a=,当t时,a;

t时,a=综上,实数a的取值范围是

,故选C .

解析:函数,所以=由题意可得,,解得.


(二)重点解析

1.定义新

纵观全国各地高考试卷的创新题,不难发现,“新定义”型这种题目正可谓创新题型的新宠儿。“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解。

新概念

【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=若A{1,2}B{x|(x2ax)·(x2ax2)0},且A*B1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)等于(  )

A1 B3 C5 D7

解析:(x2ax)·(x2ax2)=0等价于x2ax=0 ① x2ax2=0 ②

因为A=A*B1,所以集合B要么是单元素集合,要么是三元素集合。若集合B是单元素集合,则方程① 有两个相等的实数根,②无实数根,所以a=0;若集合B是三元素集合,则方程①有两个不相等的实数根,②有两个相等且异于①的实数根,即,解得.综上所述,a=0或,所以C(S)=3,故选B


新运算

【例2】记max{xy}min{xy}=设,为平面向量,则(  )

Amin{|||

|}≤min{||||} Bmin{|||

|}≥min{||||}

Cmax{||2|

|2}≤||2||2Dmax{||2|

|2}≥||2||2

【解析】对于选项A,取⊥,则由图形可知,根据勾股定理,结论不成立;

对于选项B,取是非零的相等向量,则不等式左边min{|+|||}=,显然,不等式不成立;

对于选项C,取是非零的相等向量,则不等式左边max{|+|2||2}=|+|2=4,而不等 式右边=||2+||2=2,显然不成立.由排除法可知,D选项正确.故选:D

新法则

3.已知映射.设点,,点是线段上一动点,.当点在线段上从点开始运动到点结束时,点的对应点所经过的路线长度为

AB. CD

解析:根据所给的两个点的坐标写出直线的方程,设出两个点的坐标,根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系,代入直线的方程求出一个圆的方程,得到轨迹是一个圆弧,求出弧长。根据题意可得直线AB的方程为x+y=4,设点Mm,n,,,又因为m+n=4(),=4,所以的轨迹是一个圆弧,且圆心角为.故选B

2.背景新

纵观全国高考试题,以高等数学为背景的试题备受命题专家青睐,是创新试题一道亮丽的风景线。

4:设S为复数集C的非空子集.若对任意,都有,则称S为封闭集。下列命题:

集合S{abi|(为整数,为虚数单位)}为封闭集;w_w_w.k*s 5*u.c o*m

S为封闭集,则一定有;

封闭集一定是无限集;

S为封闭集,则满足的任意集合也是封闭集.w_w w. k#s5_u.c o*m


其中真命题是 (写出所有真命题的序号)

解析:两个复数的和是复数,两个复数的差也是复数,所以集合S={a+bi|ab为整数,i为虚数单位)}为封闭集,①正确.当S为封闭集时,因为x﹣y∈S,取x=y,得0∈S,②正确对于集合S={0},显然满足所有条件,但S是有限集,③错误.S={0}T={01},满足S⊆T⊆C,但由于0﹣1=﹣1不属于T,故T不是封闭集,④错误.故真命题是 ① ②.

(三)方法小结

创新题,题型新颖,形式多样,融综合性、应用性、开放性、创新性于一体.要求认真理解题意,透过“现象”把握问题的”本质”,并将它抽象成数学(如集合、函数、数列、向量等)问题,运用相应的数学知识求解;解决这类问题通常分为三个步骤:(1)对新定义进行信息提取,确定解题的方向;2)对新定义所提取的信息进行加工,探求解题方法;(3)对定义中提取的知识进行转换,有效的输出,进而解题。解决这类问题常见的思想与方法:直接法、特值法、排除法、数形结合、转化化归等.