高中数学创新试题的探索

河南省信阳高级中学 李楠楠

高中数学创新题是指根据数学课程标准的理念和要求，依托一定数学命题原理和技术，旨在培养或诊断考生数学创新意识与创新能力，在题目背景、题目形式、题目内容、解题方法等方面具有一定的新颖性与独特性的数学题。

（一）基础热身

1.定义两种运算：，，则函数为( )

A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇、非偶函数

2.设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x₀∈D，使得f(x₀)＝－x₀，则称x₀是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax²

3x

a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是(　　)

A．(

∞，0]　　　　　　　　 B.

C.

D.

3.记定义在R上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间[

2，2]上的“中值点”为　　．

答案

1. A解析：由新定义的运算有,可得函数的定义域为，关于原点对称，此时函数的解析式可化为,据此有所以为奇函数。

2. C 解析：由题意，方程ax²

3. 3x

4. a＋=

5. x在区间[1,4]上有解，

显然x即求函数a = 在区间（1,4]上的值域，令t=4x-5,则t,a=，当t时，a;

当t时，a=综上，实数a的取值范围是

，故选C .

解析：函数，所以=由题意可得,即,解得.

（二）重点解析

1．定义新

纵观全国各地高考试卷的创新题，不难发现，“新定义”型这种题目正可谓创新题型的新宠儿。“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

①新概念

【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x²＋ax)·(x²＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于(　　)

A． 1 B． 3 C．5 D．7

解析：(x²＋ax)·(x²＋ax＋2)=0等价于x²＋ax=0 ① 或x²＋ax＋2=0 ②

因为A=A*B＝1，所以集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合。若集合B是单元素集合，则方程① 有两个相等的实数根，②无实数根，所以a=0;若集合B是三元素集合，则方程①有两个不相等的实数根，②有两个相等且异于①的实数根，即,解得.综上所述，a=0或，所以C(S)=3，故选B

②新运算

【例2】记max{x，y}＝min{x，y}＝设，为平面向量，则(　　)

A．min{|＋|，|

|}≤min{||，||} B．min{|＋|，|

|}≥min{||，||}

C．max{|＋|²，|

|²}≤||²＋||²D．max{|＋|²，|

|²}≥||²＋||²

【解析】对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；

对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}=，显然，不等式不成立；

对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|²，|﹣|²}=|+|²=4，而不等 式右边=||²+||²=2，显然不成立．由排除法可知，D选项正确．故选：D

③新法则

例3．已知映射.设点，，点是线段上一动点，.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为

A．B．　C．D．

解析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长。根据题意可得直线AB的方程为x+y=4,设点M（m,n）,,则,又因为m+n=4（）,则=4，,所以的轨迹是一个圆弧，且圆心角为.故选B

2.背景新

纵观全国高考试题，以高等数学为背景的试题备受命题专家青睐，是创新试题一道亮丽的风景线。

例4：设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：

①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；w_w_w.k*s 5*u.c o*m

②若S为封闭集，则一定有；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.w_w w. k#s5_u.c o*m

其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

解析：两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集，①正确．当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x=y，得0∈S，②正确对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误.取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1=﹣1不属于T，故T不是封闭集，④错误．故真命题是 ① ②.

（三）方法小结

创新题，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体.要求认真理解题意，透过“现象”把握问题的”本质”，并将它抽象成数学（如集合、函数、数列、向量等）问题，运用相应的数学知识求解；解决这类问题通常分为三个步骤：（1）对新定义进行信息提取，确定解题的方向;（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解题方法；（3）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，进而解题。解决这类问题常见的思想与方法：直接法、特值法、排除法、数形结合、转化化归等.